Vamos a comenzar esta unidad resolviendo un problema práctico.
La siguiente información, corresponde a la producción en granos en miles de toneladas, en dos años consecutivos:
¿Cuál es la producción de granos en miles de toneladas durante los dos años consecutivos?
Para resolver este problema, debemos sumar la producción del primer año, con la producción del segundo año. Esto equivale a sumar los elementos de la primera matriz con los elementos correspondientes de la segunda matriz:
Lo que respondería nuestra pregunta.
Supongamos ahora que existen muchos incentivos para incrementar la producción, condiciones climáticas favorables, etc. De tal forma que se estima que la producción para el tercer año será el triple de la producción del primero ¿Cuál será entonces, la producción estimada de este último año?
En este caso, debemos multiplicar la producción del primer año por tres (recuerda que es el triple).
Luego tenemos:
Para solucionar los problemas anteriores, acabamos de utilizar dos operaciones muy importantes con matrices: la suma y la multiplicación por un escalar (un número Real).
La suma de dos matrices, sean A =(aij) y B = (bij), solo es posible cuando ambas matrices tienen la misma dimensión u orden. Esto es, sean A = (aij) y B = (bij) matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales.
Si sumamos A + B obtendremos una matriz C = (cij) con elementos también pertenecientes a los números reales y del mismo orden:
Donde los elementos de la matriz C son de la forma:
Veamos un ejemplo:
Tenemos que A + B = B + A ¿Será conmutativa la suma de matrices?
Por supuesto que es conmutativa, puedes ver la demostración: CLICK AQUI
Ahora si que podemos afirmar que la suma de matrices es conmutativa. O sea:
Consideremos lo siguiente:
Tenemos que A+ ( B + C ) = ( A + B ) + C
Como en el caso anterior, veamos si la suma de matrices es asociativa: CLICK AQUI
De acuerdo a la demostración, podemos afirmar que la suma de matrices es asociativa:
Veamos si la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices: CLICK AQUI
Luego, cualquier matriz sumada a la matriz nula, da como resultado la misma matriz. O sea, la matriz nula es un elemento neutro en la suma de matrices.
Listo, ahora ya sabemos sumar matrices. Pero aún nos falta analizar la multiplicación de una matriz por un escalar.
Como nos pudimos dar cuenta en el problema planteado al comienzo de este capítulo, para multiplicar una matriz por un número escalar, basta multiplicar cada uno de los elementos de la matriz por este número. Esto es, sea A una matriz de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales. Y sea k un número real (el escalar).
Veamos dos ejemplos:
Sean
Matrices de orden (nxm) con elementos pertenecientes a los números reales. Y sea k un escalar Real.
Como lo vimos anteriormente, trata de demostrar que:
