Consideremos el sistema

La solución a este sistema es:

Asociemos el denominador a la matriz  A = (aij)

En un sistema de dos ecuaciones:

La solución es:                                         

Nuevamente asociemos el denominador a la matriz:    

En un sistema de tres ecuaciones:

Si resolvemos este sistema, llegaremos a que los denominadores de x1, x2, x3 son iguales a:

Que también podemos asociar a la matriz

A estos números que aparecen en los denominadores y que asociamos a la matriz cuadrada A de orden (nxn) con elementos pertenecientes a los números reales, los llamaremos el determinante de la matriz A y lo denotaremos como:

Así,

 Y así sucesivamente....

Como te puedes dar cuenta, el cálculo del determinante de una matriz puede ser muy engorroso. Sobre todo si se trata de matrices de orden superior a 3.

A continuación estudiaremos un método que nos facilitará en gran manera el cálculo de los determinantes.  Este método es conocido como:

MÉTODO DE LAPLACE

 Si seguimos desarrollando el determinante de la matriz de orden (3x3) anterior, tenemos:

Donde Aij es una submatriz de la matriz A en donde se quitan la i-esima fila y la j-esima columna.

 Con esto tenemos

Si generalizamos esto para matrices cuadradas de orden (nxn) con elementos pertenecientes a los números reales, tenemos

Aclaremos un poco más.

Veamos algunos ejemplos:

 1.       Vamos a resolverlo fijando la fila 1:

2.       Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 2:

3.       Ahora lo vamos a resolver fijando la fila 3:

Como puedes ver, fijando la fila 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado. Ahora está en tí que te fijes cuál de las filas es la que te conviene tomar para resolver el ejercicio.

Veamos que pasa si lo resolvemos fijando las columnas.

4.       Ahora lo vamos a resolver fijando la columna 1:

5.       Resolvamos fijando la columna 2:

6.       Finalmente lo vamos a resolver fijando la columna 3:

Al igual que en las filas, fijando la columna 1, 2 o 3 obtuvimos el mismo resultado.  O sea , fijando cualquier fila o cualquier columna , obtendremos el mismo resultado. Pero usa tu ingenio para saber cual es más conveniente elegir.

Otro ejemplo:

Resolvamos fijando la columna 4:

¿Ahora entiendes por qué es necesario saber elegir?