Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Podemos expresar este sistema en forma matricial

O bien

Donde  

Donde la matriz A es la matriz de coeficientes, la matriz X es la matriz de las incógnitas y por último, la matriz B es la matriz de los términos independientes.

Para la ecuación A X = B supongamos que det(A) ¹ 0, por lo tanto A tiene inversa. Entonces:

 En forma matricial:  

Usando la relación             

Tenemos:

Fíjate que el numerador de esta fracción es igual al determinante de la matriz que obtenemos de A, pero sustituyendo los coeficientes (a1i ... a1n) por la matriz de los términos independientes (b1 ... bn). De echo, usando el desenvolvimiento de Laplace, tenemos:

Generalizando:

Este método de resolución de Sistemas de Ecuaciones es conocido como Regla de Cramer y es aplicable en sistemas donde la cantidad de ecuaciones es igual a la cantidad de incógnitas.

Importante es recordar siempre que la Regla de Cramer en la resolución de un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas sólo se puede aplicar cuando el determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.  

Ejemplo:

Dado el sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

Por lo tanto, podemos usar la Regla de Cramer.

Luego: